Có người đồng nghiệp nhờ tôi chứng minh giúp định lý sau đây
Định lý Con Nhím. Cho tứ diện $ABCD$, chứng minh rằng tổng các vector pháp tuyến diện tích của các mặt tứ diện hướng ra phía ngoài bằng vector 0.
Read the rest of this entry »Tình cờ gặp bài toán sau, nên ngồi vã thử phát
Bài toán. Cho $p$ là một số nguyên tố dạng $4k+3$, các số nguyên $a,\,b$ thỏa mãn $$\min\left\{v_p(a),\;v_p(b-1)\right\}=1.$$ Chứng minh rằng, $f(x)=x^{2p}+ax+b$ bất khả quy ở trên $\mathbb Z[x]$.
Với $\alpha$ là một số thực, ta biết rằng có công thức sau $$\cos 2\alpha=2\cos^2\alpha-1.$$ Vì vậy, nếu thiết lập dãy $\left(s_n\right)_{n\in\mathbb N}$ trong đó $s_0\in [-1;\,1]$, còn cứ với $n\in\mathbb N$ có $$s_{n+1}=2s_n^2-1.$$ Thế thì bằng cách viết $s_0=\cos\alpha$, sau truy toán, ta có ngay công thức số hạng tổng quát của dãy sẽ là $$s_n=\cos 2^n\alpha.$$
Read the rest of this entry »Bài viết này, viết về một kỹ năng cơ bản nhưng quan trọng ở trong Số Học. Đó là phép nâng bậc đồng dư. Nội dung bài viết bắt đầu từ một bài toán cũ kỹ và kinh điển, sau đó là sự khái quát hóa bài toán đó.
Mở đầu
Ở Số Học sơ cấp, một vấn đề cơ bản thường xuyên chúng ta phải xử lý, đó là xét số dư trong phép chia cho một số nguyên dương $m$ cho trước. Thường thì khi đối diện bài toán đó, trừ những trường hợp quá tầm thường, thì một ý tưởng rất bài bản là phân tích $m$ ra thừa số nguyên tố (hành vi đó được bảo kê nhờ định lý cơ bản của Số Học). Sau đó, bài toán quy về xét đồng dư theo các mod ${p^k}$, trong đó $p$ là ước nguyên tố của $m$ còn $k$ là số mũ của $p$ khi phân tích $m$ ra thừa số nguyên tố. Nếu ta xử lý được các vấn đề ở khâu đó, chúng ta sẽ có được câu trả lời ở mod $m$ nhờ ánh xạ phục dựng ở định lý CRT.
Vấn đề là, để xử lý theo mod $p^k$ như đã nói ở trên với $k>1$, một tư duy tự nhiên là đầu tiên ta phải xử lý được mod $p$ đã. Sau đó cần những kỹ năng, để nâng dần lên mod $p^2$, và lần hồi dần lên mod $p^k$.
Read the rest of this entry »Tags: Định Giá p-adic, LTE
Ở trong bài viết này, nhân tiện việc xử lý bài Croatia TST2011 tôi nói về khái niệm ước số chung lớn nhất của hai số hữu tỷ, đồng thời là khái niệm về hai số hữu tỷ nguyên tố cùng nhau. Trong bài viết, tôi ký hiệu tập các số nguyên tố là $\mathbb P$, còn để thay cho diễn đạt “hai số hữu tỷ $x$ và $y$ nguyên tố cùng nhau”, tôi sẽ sử dụng ký hiệu $x\bot y$.
Xin nêu lại nội dung bài toán trong đề thi Croatia kia, như sau
Read the rest of this entry »Tags: Định Giá p-adic, GCD, Nền Tảng
Với các bạn học sinh, trước khi tiếp cận bài viết này, nên đọc qua bài viết ở link sau http://maths.vn/lat-cat/
Ở bài viết nói trên, tôi đã lấy một ví dụ về sự tồn tại một lát cắt vô tỷ, đó là
$$S=\left\{x\in\mathbb Q:\;x^3<2\right\}.$$ Lát cắt này về thực chất, là lát cắt xác định số vô tỷ $\sqrt[3]{2}$. Cũng ở bài viết đó, ta đã có khái niệm về tích các lát cắt, và như chúng ta vẫn khơi khơi thừa nhận thì $$\sqrt[3]{2}^3=2.$$ Vậy là có ngay bài toán sau
Một người bạn fb của tôi, ông Marian Dinca có đăng lên trang cá nhân của ông ấy một bài toán như sau
Bài toán 1. Cho các số thực $m,\,n,\,p$ với $m<n$ và $p>1$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $F=x^p+y^p+z^p$, khi các biến $x,\,y,\,z$ thay đổi trên đoạn đóng $[m,\,n]$ và thỏa mãn ràng buộc $x+y+z=p$.
Bài toán như thế này, tôi có một kết quả tổng quát từ năm 2000, như sau
Read the rest of this entry »Bài viết nối tiếp phần 2 ở [5]. Trường hợp này để xác định 2 tập $C$ và $E$ sẽ khó khăn hơn trước nhiều vì mở rộng nguyên có gì đó vẫn khá tổng quát. Ở bài viết này mang tính khái quát cao nên ta sẽ cố gắng tìm được nhiều tính chất của mở rộng và hạn chế ideal nhất có thể, khi làm việc về vành Dedekind ta sẽ làm rõ hơn phần này.
Trước khi đi vào bài viết, ta cần một số kết quả của mở rộng nguyên. Chứng minh các bạn có thể xem trong [2] hoặc [3].
Cho miền nguyên $A\subset B$ là các miền nguyên. Phần tử $b\in B$ được gọi là nguyên trên $A$ nếu tồn tại $a_0,a_1,…,a_{n-1}\in A$ sao cho \[b^n+a_{n-1}b^{n-1}+…+a_0=0\] Nếu $B$ là gồm toàn các phần tử nguyên của $A$ thì ta nói $B$ là một mở rộng nguyên của $A$.
Trên thực tế người ta định nghĩa mở rộng nguyên theo kiểu bao đóng nguyên (tức là sử dụng đến trường các thương). Cách định nghĩa trên của ta có những hạn chế nhất định, nhưng trong khuôn khổ bài viết này khi ta bàn chủ yếu đến mở rộng nguyên thì như vậy là đủ.
Tính chất 12: Cho $B$ là mở rộng nguyên của $A$. Nếu $B$ hữu hạn sinh theo nghĩa $A$- đại số thì $B$ cũng là $A$ – module hữu hạn sinh.
Bài viết tiếp nối phần 1 ở [4].
III. Mở rộng và hạn chế ideal trên vành các thương
Trong mục này, ta sẽ xét $A$ là miền nguyên và $S$ là tập con nhân tính của $A$ ($0\notin S$) và $B=S^{-1}A$ với $f:A\rightarrow S^{-1}A, x\mapsto x/1$. Tức là ở đây ta coi $A$ thực sự nằm trong $S^{-1}A$.
Xét $\mathfrak{a}$ là ideal trong $A$ và $\mathfrak{A}$ là ideal trong $S^{-1}A$ , khi đó $\mathfrak{a}^e=S^{-1}A\mathfrak{a}=S^{-1}\mathfrak{a}$ và $\mathfrak{A}^c=\mathfrak{A}\cap A$.
Giờ ta đi tìm họ các ideal mở rộng và ideal hạn chế trong trường hợp này.
Mệnh đề 8: Cho $\mathfrak{A}$ là ideal của $S^{-1}A$. Khi đó $\mathfrak{A}^{ce}=\mathfrak{A}$ hay $E=I(S^{-1}A)$.
Chứng minh. Hiển nhiên $\mathfrak{A}^{ce}=S^{-1}(\mathfrak{A}\cap A)$ nằm trong $\mathfrak{A}$. Điều ngược lại cũng đúng vì xét $a/s\in \mathfrak{A}$ với $a\in A,s\in S$ thì $s.a/s=a\in \mathfrak{A}$ nên $a\in \mathfrak{A}\cap A$ nên $a/s\in S^{-1}(\mathfrak{A}\cap A)$.
Do từ mệnh đề 2 ta có $E=\{\mathfrak{B}\lhd S^{-1}A:\mathfrak{B}^{ce}=\mathfrak{B}\}$ nên ta có điều phải chứng minh.
Bài viết này trình bày một số kết quả về mở rộng và hạn chế ideal, cụ thể trong trường hợp vành thương, trên vành các thương và trên mở rộng nguyên
Cho $A$ là một vành. Nếu $\mathfrak{a}$ là ideal của $A$ thì ta kí hiệu $\mathfrak{a}\lhd A$. Ngoài ra ta gọi $I(A)$ là họ các ideal trong $A$, $Spec(A)$ là họ các ideal nguyên tố trong $A$, $M(A)$ là họ các ideal cực đại trong $A$.
Với miền nguyên $A$ và tập con nhân tính $S$ của $A$ ($0\notin S$), kí hiệu $S^{-1}A=\{a/s|a\in A,s\in S\}$ là vành các thương trên $A$ đối với $S$. Đặc biệt trong trường hợp $S=A-\{0\}$, ta kí hiệu trường các thương của $A$ bởi $F(A)=(A-\{0\})^{-1}A$.
Còn trường hợp $S=S_{\mathfrak{p}}=A-\mathfrak{p}$ với $\mathfrak{p}$ là một ideal nguyên tố trong $A$ thì ta kí hiệu $A_{\mathfrak{p}}=S_{\mathfrak{p}}^{-1}A$.
Một số kiến thức cơ bản về vành và ideal, bạn đọc có thể xem trong chương I của [1].
Với lượng kiến thức chuẩn bị ở hai phần trước, phần 3 hi vọng sẽ đưa ra được một phương pháp để khảo sát nhóm Galois của đa thức hệ số hữu tỉ (nếu có).
V. Định lí Dedekin về nhóm Galois của đa thức hệ số nguyên monic, tách được
Định lí Dedekin là một phương pháp để tìm các phần tử đặc biệt trong nhóm Galois của một đa thức hệ số nguyên monic, tách được từ đó xác định được nhóm Galois đó.
Cần chú ý rằng định lí này có thể áp dụng cho đa thức hệ số hữu tỉ monic, vì đa thức hữu tỉ hoàn toàn có thể đưa về đa thức hệ số nguyên monic thông qua phép co dãn. Thật vậy xét $f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+…+a_0$ với $a_n,a_{n-1},a_{n-2},…,a_0\in\mathbb{Q}$. Khi đó tồn tại $d\in \mathbb{Z}-\{0\}$ sao cho $d.\frac{a_i}{a_n}\in\mathbb{Z}$ với mọi $1\le i\le n-1$. Từ đó đa thức:
\[g(x)=\frac{d^n}{a_n}f(\frac{x}{d})=x^n+d\frac{a_{n-1}}{a_n} x^{n-1}+…+d^n\frac{a_0}{a_n}\]
Trong cuốn “Fields and Galois Theory” của J. S. Milne, có bài toán 3.1 rất thú vị như sau:
Bài toán 1: Cho $F$ là trường có đặc số bằng $0$. Chứng minh rằng $F(x^2)\cap F(x^2-x)=F$
(Ở đây F(X) là trường phân thức hữu tỉ trên $F$)
Khoan bàn về chứng minh của bài toán, bằng cách “lắp số, lắp điều kiện”: Chọn $F=\mathbb{Q}$ ta được một bài toán sơ cấp sau:
Bài toán 2: Tìm các cặp đa thức $f(x),g(x)\in \mathbb{Q}[x]$ sao cho:
\[f(x^2)=g(x^2-x)\]
Phản Hồi